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        宋元數(shù)學(xué)是中國古代數(shù)學(xué)的黃金時代。公元960年，北宋的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面，北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。公元1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，公元1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻，這為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。在這一時期，數(shù)學(xué)研究的很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。宋代在數(shù)學(xué)研究方面取得了諸多重大成就，如賈憲三角與開方作法本源圖、增乘開方法、大衍求一術(shù)、隙積術(shù)、垛積術(shù)、會圓術(shù)、縱橫圖、籌算和珠算等。然而，宋代后期，算盤和珠算的使用使數(shù)學(xué)的抽象思維被禁錮，數(shù)學(xué)的發(fā)展開始滯后。

        “宋代數(shù)學(xué)的研究成果呈‘井噴’式大爆發(fā)，與前朝和后代相比，這一時期的數(shù)學(xué)研究成果眾多，不少理論我們至今還在教學(xué)和運用。”提起宋代數(shù)學(xué)，河南大學(xué)歷史文化學(xué)院副教授惠冬博士說。

        中國數(shù)學(xué)的發(fā)展可分為中國古代數(shù)學(xué)的萌芽、中國古代數(shù)學(xué)體系的形成、中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展、中國古代數(shù)學(xué)的繁榮、中西方數(shù)學(xué)的融合五個階段。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽始于原始公社末期。春秋戰(zhàn)國時期，籌算作為中國古代的計算工具，已得到普遍應(yīng)用。秦漢時期，隨著社會經(jīng)濟(jì)和文化的迅速發(fā)展，算術(shù)成為一個專門學(xué)科，以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)。魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)，運用邏輯思維，分析義理，這有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。至唐朝后期，計算技術(shù)有了進(jìn)一步改進(jìn)和普及，出現(xiàn)多種實用算術(shù)書，對于乘除算法力求簡捷，推動了古代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

        “到了宋元時期，中國古代數(shù)學(xué)達(dá)到了巔峰。”惠冬說，在古代，數(shù)學(xué)叫做算術(shù)，又稱算學(xué)、術(shù)、算、九九、九算，別稱很多。術(shù)作為一門單獨的學(xué)問在先秦的時候就有了，周禮六藝“禮”“樂”“射”“藝”“書”“術(shù)”中最后一個術(shù)指的就是數(shù)學(xué)。第一次提到數(shù)學(xué)這個詞是在宋代，南宋秦九韶提出“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數(shù)”，是說先有物才有象，象的繁衍滋生才有了數(shù)，這也算是數(shù)學(xué)的第一個定義了。“現(xiàn)在我們所知道的宋代算學(xué)專著已知其名字的大概有54種，而傳世的只有十幾種。”惠冬介紹說，“宋代對數(shù)學(xué)家極為重視，歷史上第一次對數(shù)學(xué)家的追封是在宋徽宗時期，一次追封了70位數(shù)學(xué)家，供后世供奉，官方的重視和支持也是數(shù)學(xué)繁榮發(fā)展的原因之一。”

        北宋數(shù)學(xué)家賈憲在《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》中首先提出開方作法本源圖，即現(xiàn)在的指數(shù)為正整數(shù)的二項式定理系數(shù)表，是一個由數(shù)字構(gòu)成的三角形數(shù)表，現(xiàn)稱“賈憲三角”，因見于南宋數(shù)學(xué)家楊輝著作，故亦曾稱“楊輝三角”。楊輝在《詳解九章算法》一書中明確指出“賈憲三角”為開方作法本源圖，稱這個圖系“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”，并繪出了“古法七乘方圖”。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中擴(kuò)充“賈憲三角”為“古法七乘方圖”。歐洲人稱“賈憲三角”為帕斯卡三角，比賈憲的提法晚了600多年。除“賈憲三角”外，賈憲還引入了一種新的開平方、開立方的方法，即增乘開方法，把方法中的乘平方、乘立方等步驟用隨乘隨加的方法加以代替。賈憲創(chuàng)造的增乘開方法的運算原則可以推廣到求任何高次冪和高次方程正實根的近似值�；荻�說，在西方，關(guān)于高次方程數(shù)值解法的探討，經(jīng)歷了漫長的過程，直到1804年，意大利數(shù)學(xué)家魯非尼創(chuàng)立逐次近似法解決數(shù)字高次方程的近似值問題，并因此獲得了意大利科學(xué)協(xié)會頒發(fā)的金質(zhì)獎?wù)隆?819年，英國數(shù)學(xué)家霍納才提出了與增乘開方法演算步驟基本一致的算法，后被稱為“霍納法”，這比南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的算法晚了500多年。

        “在中國古代，對于一般等差數(shù)列和等比數(shù)列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算術(shù)》《張丘建算經(jīng)》等都提出了一些有關(guān)等差級數(shù)求公差及求和的公式。”惠冬說，高階等差數(shù)列的研究始于沈括。《隙積術(shù)和會圓術(shù)》中所記的隙積術(shù)和會圓術(shù)就是他的兩大重要研究成果。隙積術(shù)是用來計算諸如累棋、層壇、積罌（堆砌的酒壇子）一類堆垛物體的體積公式，其中包含了高階等差級數(shù)的計算公式。“隙積術(shù)”的計算方法和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“積彈”的算法相似，現(xiàn)在又稱為二階等差級數(shù)的求和法即把同樣的很多物品層層堆積，各層都是一個長方形，自下而上，逐層在長、寬方面各減少一個，求其總數(shù)。沈括的研究開了中國垛積術(shù)研究的先河。后來，南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)展了這一成果，創(chuàng)造了垛積術(shù)公式。會圓術(shù)是計算圓弧的弦、矢（弧的高）與弧長間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，已知圓的直徑和弓形的高，求弓形的弦和弧長的方法。在我國數(shù)學(xué)史上，沈括第一個利用弦、矢求出了弧長的近似值。這一公式為元代郭守敬創(chuàng)制《授時歷》提供了直接的數(shù)學(xué)依據(jù)。

        南宋秦九韶在《〈數(shù)書九章〉序》中提到算數(shù)又分為內(nèi)算和外算，內(nèi)算是指數(shù)術(shù)中秘而不傳的部分，是大數(shù)術(shù)，包括綴術(shù)和三式，綴術(shù)又包括天象和歷度；三式又包括太乙、六壬和奇門遁甲；內(nèi)算的功能是“通神明，順性命”。外算是數(shù)術(shù)中公開傳授的部分，是小數(shù)術(shù)，其功能是“經(jīng)世務(wù)，類萬物”。宋代以前，內(nèi)算與外算是一個整體，內(nèi)外之分不甚明顯，統(tǒng)稱數(shù)術(shù)、術(shù)數(shù)、道術(shù)、歷數(shù)、歷算、算法、算經(jīng)、算術(shù)、數(shù)學(xué)、度數(shù)之學(xué)或象數(shù)之學(xué)，數(shù)術(shù)從業(yè)者一般稱為疇人。

        秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家，其著作為《數(shù)書九章》，創(chuàng)立了大衍求一術(shù)。大衍求一術(shù)就是求解聯(lián)立一次同余式問題，被世界上稱為中國的剩余定理。秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中詳細(xì)、系統(tǒng)地介紹了大衍求一術(shù)求解一次同余式問題，這是我國古代數(shù)學(xué)的杰出成就，在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位。在西方，直到18世紀(jì)~19世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家歐拉和高斯才對一次同余式問題進(jìn)行了詳細(xì)研究，得到了與大衍求一術(shù)相通的結(jié)果，并給出證明。這比《數(shù)書九章》晚了近500年。在數(shù)學(xué)史上，上述定理過去被稱為“中國剩余定理”，現(xiàn)多改稱為“孫子剩余定理”或“孫子定理”。

        縱橫術(shù)亦稱幻方，《數(shù)術(shù)記遺》載有“九宮算”，這實際上是一個三行縱橫圖，各行、各列及兩條對角線上的數(shù)字之和都等于15。“九宮圖”后世通稱為“洛書”，其起源早于漢代，同時它也是世界上現(xiàn)在已知最早的縱橫圖。

        南宋楊輝在《續(xù)古摘奇算法》卷1始有“縱橫圖”之名，其中給出了3~10階的幻方及其變體共13種。楊輝給出的方形縱橫圖共有13幅，它們是：洛書數(shù)1幅、四四圖2幅、五五圖2幅、六六圖2幅、七七圖2幅、六十四圖2幅、九九圖1幅、百子圖1幅。其中還給出了“洛書數(shù)”和“四四陰圖”的構(gòu)造方法。此外，還記錄了聚五圖、聚六圖、聚八圖、攢九圖、八陣圖、連環(huán)圖等圓形或環(huán)形的新型數(shù)字組合圖，這些都可以說是縱橫圖的進(jìn)一步演變和發(fā)展。可以說，楊輝是世界上第一個排出縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。

        李冶是金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人，在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是天元術(shù)（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以研究直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì)，其著作為《測圓海鏡》�；荻�說：“從11世紀(jì)～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，李約瑟也稱‘這是一個數(shù)學(xué)家的時代’。”

        惠冬介紹說，宋代數(shù)學(xué)與其之前和之后的數(shù)學(xué)研究相比，較為突出的地方就是宋代數(shù)學(xué)注重抽象思維。“這之前和之后的數(shù)學(xué)實用性比較強(qiáng)，宋代的數(shù)學(xué)則注重邏輯思維，這是它的一個特點。”惠冬說，這正是宋代數(shù)學(xué)受理學(xué)思想影響的結(jié)果，首先，當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家本身就是士大夫、官員，對數(shù)學(xué)的抽象思維是受到了理學(xué)的啟發(fā)。其次，理學(xué)講究“格物致知，物格而后知至”，認(rèn)為格物致知是一切的基礎(chǔ)。“此外，宋代的任官制度也是宋代數(shù)學(xué)繁榮昌盛的另一個因素。”惠冬說，宋代任官制度有官、職、差遣三個體系。官，官名用于表示官位、俸祿高低；職，是官員在三館、密閣中所擔(dān)任的職務(wù)，稱為“館職”；差遣，指派遣。部分士大夫只有官職，而沒有實際差遣，空拿朝廷俸祿，還擁有博物情懷，這也是宋代科技文化發(fā)展的原因之一。

        惠冬告訴記者，宋代的數(shù)學(xué)教育主要分為官學(xué)、私學(xué)和家學(xué)。官學(xué)由封建朝廷直接舉辦和管轄，定額210人，專職教授算學(xué)的人稱為算學(xué)博士，相當(dāng)于現(xiàn)在的數(shù)學(xué)老師，內(nèi)算外算均有教授，官府研究算學(xué)主要運用于天文歷法的推演計算。在宋代，算學(xué)往往與天文苑、司天監(jiān)等機(jī)構(gòu)融合起來。私學(xué)方面，宋代各地書院都開設(shè)了算學(xué)科目。在家學(xué)中，最具代表性的人物是苗訓(xùn)與其子苗守信，苗訓(xùn)，善天文占候術(shù)，以謀略見長，曾預(yù)言趙匡胤陳橋兵變。

        宋代之前，作為主要計算工具的算籌存在使用不便、演算速度和效率低下的缺點。宋代社會的快速發(fā)展和滿足大量繁雜計算的需求，推動了該時期籌算法的研究。費正清、賴肖爾所著的《傳統(tǒng)與變革》一書中指出，“宋代后期開始用算盤，自此以后成為東亞商人的主要計算工具。”算盤起源于宋代，在張擇端的《清明上河圖》“趙太丞家”的藥鋪正面柜桌上放著算盤，經(jīng)中國珠算專家鑒定，確認(rèn)畫中之物的確是和現(xiàn)在使用的算盤類似。楊輝在《乘除通變算寶》里、朱世杰在《算學(xué)啟蒙》里都記載了有關(guān)算盤的《九歸除法》，可見，在宋代算盤的使用已經(jīng)比較普遍了。

        “到元代后期，算盤和珠算的普及對前代的數(shù)學(xué)理論研究是一個巨大的挑戰(zhàn)。珠算的大量使用使數(shù)學(xué)開始實用化，對于抽象思維的探索被禁錮，而后，數(shù)學(xué)的發(fā)展開始滯后，進(jìn)而阻礙了中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展。”惠冬說，“所以，元初之后，我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展相對緩慢，再也不復(fù)宋時的黃金時期。”